DEX取引オペレーターの考察：線形と非線形のトレードオフ

分散型取引所(DEX)の開発において、取引オペレーターの設計は核心的なタスクの一つです。これらのオペレーターは線形または非線形であり、金利オペレーターの設計時にも同様の違いがあります。しかし、この違いはすべての人が簡単に理解できるわけではありません。

線形演算子は通常、均衡価格理論に基づいており、無裁定条件が成立することを前提としています。この場合、合理的な金融取引はすべて線形であるべきです。非線形の結果が生じた場合、価格設定不可能な資産の組み合わせが存在したり、裁定機会が生じる可能性があります。原則として、オラクルを使用した取引モデルは線形取引演算子を採用するべきであり、さもなければ裁定にさらされる可能性があります。別の観点から見ると、完全市場と価格設定が有効な状況下では、線形取引演算子だけが無裁定を確保することができます。

しかし、線形オペレーターには限界もあります。それはすべての資金プールが平等であり、このオペレーターはトークン化できないことを意味します。なぜなら、コピーされた後は完全に同じだからです。これは、プロトコルがチェーン上で価値をキャッチし、トークン化する問題に関係しています。既存の均衡の上で線形変換を行うだけでは、価値をキャッチすることは非常に難しいです。

対照的に、非線形取引オペレーターは、価格設定、取引、価値の蓄積（トークン化）の3つのタスクを同時に達成しようとします。非線形オペレーターは、規模に関連する自己強化の特性を持つように設計され、価値を蓄積することができます。しかし、これにはいくつかの問題も伴います。市場が徐々に整備されると、非線形取引オペレーターは本質的に非常に小さな取引規模で線形オペレーターをフィッティングすることになります。市場が不完全な場合、この設計のコストと効率は十分かどうか、非線形の価値入力は誰が提供するのか、そしてこの価値入力は線形取引オペレーターの競争の下で徐々に失われるのかどうか。

多くの自動マーケットメイカー(AMM)は、固定積の取引モデル（例：XY=K）を採用しており、これは典型的な規模関連の非線形取引演算子です。マーケットメイカーのプールが十分に大きい場合にのみ、局所的に線形取引をシミュレートできます。AMMの取引対象が完全市場である場合、その核心的な意味は規模効果後のフィッティングの有効性にあります。

注目すべきは、価格決定権を完全にオンチェーンに置こうとすることが誤解である可能性があるということです。市場が完備している場合、中央集権型取引所の利点は非常に明白です。オンチェーンの各行動はオークション後の産物であり、価格取引サービスの需要とは大きなギャップがあります。不完全市場、例えばテール資産や新しいプロジェクトに関しては、コアな需要は迅速かつ低コストで価格を形成し、大量の取引を完了することです。

非線形取引オペレーターは価格設定と取引を同時に処理しますが、効率の面でオラクルを受け入れる線形取引モデルと競争するのは難しいです。さらに、非線形オペレーターは価値の入力に関する問題にも直面しています。完全市場では、均衡価格の変動時に非線形オペレーターのアービトラージ損失を補うために、多くの小規模取引が必要であり、この条件は非常に厳しいです。

以上のことから、トレーディングオペレーターの非線形化は必ずしも価値のある方向ではない。オンチェーンで分散型の価値を沈殿させるプロトコルにおいて、非線形トレーディングオペレーターは最適な選択肢ではない可能性がある。しかし、金利オペレーターなど特定の分野では、アービトラージの難しさから、非線形オペレーターには一定の適用可能性がある。

将来の研究方向は、非線形取引オペレーターの改善や、アービトラージリスクを低減するための再帰情報の導入を含む可能性があります。これには、各オペレーターの背後にあるコアリスクの深い分析が必要であり、取引の目標を明確にモデル化する必要があります。このアプローチは、すべての金融サービスをオペレーター理論の下に統一し、より効果的な数学モデルを開発することが期待され、オンチェーン金融の世界の発展を促進します。