Phân tích nguyên lý Binius STARKs và suy nghĩ tối ưu hóa
1 Giới thiệu
Khác với SNARKs dựa trên đường cong ellip, STARKs có thể được coi là SNARKs dựa trên hàm băm. Một trong những lý do chính khiến STARKs hiện tại kém hiệu quả là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị boolean, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, khi sử dụng mã Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu, nhiều giá trị dư thừa bổ sung sẽ chiếm lĩnh toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.
Bộ mã STARKs thế hệ đầu tiên có bề rộng mã hóa là 252bit, thế hệ thứ hai là 64bit, thế hệ thứ ba là 32bit, nhưng bề rộng mã hóa 32bit vẫn còn rất nhiều không gian lãng phí. Ngược lại, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không lãng phí không gian, có thể coi là STARKs thế hệ thứ tư.
So với các phát hiện nghiên cứu mới trong những năm gần đây như Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và các miền hữu hạn khác, nghiên cứu về miền nhị phân có thể được truy nguyên đến những năm 1980. Hiện nay, miền nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28
Mã xác thực thông điệp Galois ( GMAC ), dựa trên trường F2128
QR mã, sử dụng mã hóa Reed-Solomon dựa trên F28
Giao thức FRI gốc và zk-STARK, cũng như hàm băm Grøstl đã vào vòng chung kết SHA-3, hàm này dựa trên trường F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho việc đệ quy.
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, việc mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo an toàn. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo an toàn và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong tính toán Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ bản, từ đó đạt được hiệu quả cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, việc kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo an toàn cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán biểu diễn trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết cây Merkle trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.
Binius đã đưa ra một giải pháp đổi mới để xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và thể hiện cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua giá trị của nó trên "siêu lập phương" ( hypercubes ) để biểu diễn toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, vì chiều dài của mỗi chiều của siêu lập phương đều bằng 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu lập phương như một hình vuông ( square ), dựa trên hình vuông đó để thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo tính an toàn trong khi nâng cao hiệu suất mã hóa và hiệu suất tính toán một cách đáng kể.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle tương tác đa thức lý thuyết thông tin ( Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP ): PIOP là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi các mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi dần dần các đa thức thông qua việc tương tác với người xác minh, cho phép người xác minh xác minh xem tính toán có đúng hay không chỉ bằng cách truy vấn một lượng nhỏ các kết quả đánh giá đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi cái có cách xử lý các biểu thức đa thức khác nhau, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Chương trình cam kết đa thức (Polynomial Commitment Scheme, PCS): Chương trình cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem các phương trình đa thức do PIOP tạo ra có đúng hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi các thông tin khác của đa thức. Các chương trình cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI(Fast Reed-Solomon IOPP) và Brakedown, v.v. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và tình huống áp dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với trường hữu hạn hoặc đường cong ellip phù hợp, có thể xây dựng hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế với trọng tâm vào khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập đáng tin cậy trong giao thức ZCash.
• Plonky2: Kết hợp PLONK PIOP và FRI PCS, và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được hiệu suất đệ quy cao. Khi thiết kế các hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải phù hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong ellip được sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và an ninh của hệ thống. Sự lựa chọn của các sự kết hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh SNARK và hiệu suất xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, và liệu nó có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh đệ quy hoặc chứng minh tổng hợp hay không.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ chính để đạt được hiệu quả và an toàn. Đầu tiên, dựa trên miền nhị phân tháp (towers of binary fields), các phép toán đã được hình thành để tạo nền tảng cho tính toán của nó, có thể thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius trong giao thức chứng minh Oracle tương tác (PIOP), đã điều chỉnh kiểm tra sản phẩm và hoán vị của HyperPlonk, đảm bảo tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu quả xác thực các mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius sử dụng chứng minh tìm kiếm Lasso phiên bản cải tiến, cung cấp tính linh hoạt và an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), giúp nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 trường hữu hạn: toán tử hóa dựa trên towers of binary fields
Trường nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác minh nhanh chóng, chủ yếu nhờ vào hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và toán học hiệu quả. Trường nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán toán học hiệu quả cao, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu hiệu suất. Ngoài ra, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quá trình toán học đơn giản hóa, tức là các phép toán được thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cùng với khả năng tận dụng triệt để đặc điểm phân cấp của nó thông qua cấu trúc tháp, khiến trường nhị phân đặc biệt phù hợp với các hệ thống chứng minh mở rộng như Binius.
Trong đó, "canonical" chỉ cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong trường nhị phân. Ví dụ, trong trường nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử trường nhị phân k bit. Điều này khác với trường số nguyên tố, trường số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn này trong một số bit nhất định. Mặc dù trường số nguyên tố 32 bit có thể chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử trường, trong khi trường nhị phân lại có sự thuận lợi của ánh xạ một-một này. Trong trường số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, cũng như các phương pháp giảm đặc biệt cho các trường hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong trường nhị phân F2k, các phương pháp giảm thông dụng bao gồm giảm đặc biệt ( như trong AES sử dụng ), giảm Montgomery ( như trong POLYVAL sử dụng ) và giảm đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" chỉ ra rằng trường nhị phân không cần phải đưa vào carry trong cả phép cộng và phép nhân, và phép bình phương trong trường nhị phân rất hiệu quả vì nó tuân theo quy tắc đơn giản (X + Y )2 = X2 + Y2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: Chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử độc nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, mười sáu phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Tính linh hoạt của cách biểu diễn này không yêu cầu bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là việc chuyển đổi kiểu chuỗi bit (typecast), đây là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần chi phí tính toán bổ sung. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để cải thiện hiệu quả tính toán. Hơn nữa, tài liệu "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khám phá độ phức tạp tính toán của phép nhân, bình phương và phép đảo ngược trong miền tháp nhị phân n bit có thể phân tích thành miền con m bit (.
![Bitlayer Research：Binius STARKs nguyên lý phân tích và suy nghĩ tối ưu])https://img-cdn.gateio.im/webp-social/moments-5775a629f494c4e01e2b74d864fa4100.webp(
) 2.2 PIOP: Phiên bản chỉnh sửa của sản phẩm HyperPlonk và PermutationCheck------ áp dụng cho trường nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, sử dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi nhằm xác minh tính chính xác của đa thức và tập hợp đa biến. Những kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác minh chứng chỉ bảo mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ toán học của mạch C###x, ω(=0, để đảm bảo mạch hoạt động chính xác.
PermutationCheck: Xác minh kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên khối siêu Boolean có phải là quan hệ hoán vị hay không f)x( = f)π(x(), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: Xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f)Bµ( ⊆ T)Bµ(, đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {)x1,i,x2,(}i∈H={)y1,i,y2,(}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra xem giá trị của đa thức hợp lý trên khối siêu Boolean có bằng một giá trị đã tuyên bố ∏x∈Hµ f)x( = s hay không, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh một đa biến đa thức tại một điểm bất kỳ trên hypercube Boolean có phải là zero ∏x∈Hµ f)x( = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã khai báo hay không ∑x∈Hµ f)x( = s. Bằng cách biến đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý theo lô, bằng cách đưa vào số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý theo lô cho nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính đúng đắn của việc đánh giá nhiều đa thức đa biến để nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 khía cạnh sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U không được bằng 0 ở mọi điểm trên khối tứ diện, và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quy trình kiểm tra này bằng cách đặc hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không xử lý đầy đủ trường hợp chia cho không, dẫn đến việc không thể khẳng định vấn đề không bằng 0 của U trên siêu khối; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả khi mẫu số bằng 0, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này giúp Binius xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải thiện cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt là trong việc xử lý xác minh đa biến đa thức phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết những hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân trong tương lai.
![Bitlayer Research：Phân tích nguyên lý Binius STARKs và những suy nghĩ tối ưu hóa])https://img-cdn.gateio.im/webp-social/moments-1fb9ecbf9b3b2beaec758f3ab686a012.webp(
) 2.3 PIOP: lập luận dịch chuyển đa tuyến mới ------ áp dụng cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những công nghệ then chốt, có khả năng tạo ra và thao tác hiệu quả các đa thức được phát sinh từ tay cầm đầu vào hoặc từ các đa thức ảo khác.
Xem bản gốc
Trang này có thể chứa nội dung của bên thứ ba, được cung cấp chỉ nhằm mục đích thông tin (không phải là tuyên bố/bảo đảm) và không được coi là sự chứng thực cho quan điểm của Gate hoặc là lời khuyên về tài chính hoặc chuyên môn. Xem Tuyên bố từ chối trách nhiệm để biết chi tiết.
Phân tích nguyên lý STARKs Binius: Đổi mới miền nhị phân và tối ưu hóa hiệu suất
Phân tích nguyên lý Binius STARKs và suy nghĩ tối ưu hóa
1 Giới thiệu
Khác với SNARKs dựa trên đường cong ellip, STARKs có thể được coi là SNARKs dựa trên hàm băm. Một trong những lý do chính khiến STARKs hiện tại kém hiệu quả là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị boolean, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, khi sử dụng mã Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu, nhiều giá trị dư thừa bổ sung sẽ chiếm lĩnh toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.
Bộ mã STARKs thế hệ đầu tiên có bề rộng mã hóa là 252bit, thế hệ thứ hai là 64bit, thế hệ thứ ba là 32bit, nhưng bề rộng mã hóa 32bit vẫn còn rất nhiều không gian lãng phí. Ngược lại, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không lãng phí không gian, có thể coi là STARKs thế hệ thứ tư.
So với các phát hiện nghiên cứu mới trong những năm gần đây như Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và các miền hữu hạn khác, nghiên cứu về miền nhị phân có thể được truy nguyên đến những năm 1980. Hiện nay, miền nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, việc mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo an toàn. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo an toàn và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong tính toán Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ bản, từ đó đạt được hiệu quả cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, việc kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo an toàn cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán biểu diễn trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết cây Merkle trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.
Binius đã đưa ra một giải pháp đổi mới để xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và thể hiện cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua giá trị của nó trên "siêu lập phương" ( hypercubes ) để biểu diễn toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, vì chiều dài của mỗi chiều của siêu lập phương đều bằng 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu lập phương như một hình vuông ( square ), dựa trên hình vuông đó để thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo tính an toàn trong khi nâng cao hiệu suất mã hóa và hiệu suất tính toán một cách đáng kể.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle tương tác đa thức lý thuyết thông tin ( Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP ): PIOP là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi các mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi dần dần các đa thức thông qua việc tương tác với người xác minh, cho phép người xác minh xác minh xem tính toán có đúng hay không chỉ bằng cách truy vấn một lượng nhỏ các kết quả đánh giá đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi cái có cách xử lý các biểu thức đa thức khác nhau, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Chương trình cam kết đa thức (Polynomial Commitment Scheme, PCS): Chương trình cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem các phương trình đa thức do PIOP tạo ra có đúng hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi các thông tin khác của đa thức. Các chương trình cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI(Fast Reed-Solomon IOPP) và Brakedown, v.v. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và tình huống áp dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với trường hữu hạn hoặc đường cong ellip phù hợp, có thể xây dựng hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế với trọng tâm vào khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập đáng tin cậy trong giao thức ZCash.
• Plonky2: Kết hợp PLONK PIOP và FRI PCS, và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được hiệu suất đệ quy cao. Khi thiết kế các hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải phù hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong ellip được sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và an ninh của hệ thống. Sự lựa chọn của các sự kết hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh SNARK và hiệu suất xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, và liệu nó có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh đệ quy hoặc chứng minh tổng hợp hay không.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ chính để đạt được hiệu quả và an toàn. Đầu tiên, dựa trên miền nhị phân tháp (towers of binary fields), các phép toán đã được hình thành để tạo nền tảng cho tính toán của nó, có thể thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius trong giao thức chứng minh Oracle tương tác (PIOP), đã điều chỉnh kiểm tra sản phẩm và hoán vị của HyperPlonk, đảm bảo tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu quả xác thực các mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius sử dụng chứng minh tìm kiếm Lasso phiên bản cải tiến, cung cấp tính linh hoạt và an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), giúp nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 trường hữu hạn: toán tử hóa dựa trên towers of binary fields
Trường nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác minh nhanh chóng, chủ yếu nhờ vào hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và toán học hiệu quả. Trường nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán toán học hiệu quả cao, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu hiệu suất. Ngoài ra, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quá trình toán học đơn giản hóa, tức là các phép toán được thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cùng với khả năng tận dụng triệt để đặc điểm phân cấp của nó thông qua cấu trúc tháp, khiến trường nhị phân đặc biệt phù hợp với các hệ thống chứng minh mở rộng như Binius.
Trong đó, "canonical" chỉ cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong trường nhị phân. Ví dụ, trong trường nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử trường nhị phân k bit. Điều này khác với trường số nguyên tố, trường số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn này trong một số bit nhất định. Mặc dù trường số nguyên tố 32 bit có thể chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử trường, trong khi trường nhị phân lại có sự thuận lợi của ánh xạ một-một này. Trong trường số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, cũng như các phương pháp giảm đặc biệt cho các trường hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong trường nhị phân F2k, các phương pháp giảm thông dụng bao gồm giảm đặc biệt ( như trong AES sử dụng ), giảm Montgomery ( như trong POLYVAL sử dụng ) và giảm đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" chỉ ra rằng trường nhị phân không cần phải đưa vào carry trong cả phép cộng và phép nhân, và phép bình phương trong trường nhị phân rất hiệu quả vì nó tuân theo quy tắc đơn giản (X + Y )2 = X2 + Y2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: Chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử độc nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, mười sáu phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Tính linh hoạt của cách biểu diễn này không yêu cầu bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là việc chuyển đổi kiểu chuỗi bit (typecast), đây là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần chi phí tính toán bổ sung. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để cải thiện hiệu quả tính toán. Hơn nữa, tài liệu "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khám phá độ phức tạp tính toán của phép nhân, bình phương và phép đảo ngược trong miền tháp nhị phân n bit có thể phân tích thành miền con m bit (.
![Bitlayer Research：Binius STARKs nguyên lý phân tích và suy nghĩ tối ưu])https://img-cdn.gateio.im/webp-social/moments-5775a629f494c4e01e2b74d864fa4100.webp(
) 2.2 PIOP: Phiên bản chỉnh sửa của sản phẩm HyperPlonk và PermutationCheck------ áp dụng cho trường nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, sử dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi nhằm xác minh tính chính xác của đa thức và tập hợp đa biến. Những kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác minh chứng chỉ bảo mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ toán học của mạch C###x, ω(=0, để đảm bảo mạch hoạt động chính xác.
PermutationCheck: Xác minh kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên khối siêu Boolean có phải là quan hệ hoán vị hay không f)x( = f)π(x(), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: Xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f)Bµ( ⊆ T)Bµ(, đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {)x1,i,x2,(}i∈H={)y1,i,y2,(}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra xem giá trị của đa thức hợp lý trên khối siêu Boolean có bằng một giá trị đã tuyên bố ∏x∈Hµ f)x( = s hay không, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh một đa biến đa thức tại một điểm bất kỳ trên hypercube Boolean có phải là zero ∏x∈Hµ f)x( = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã khai báo hay không ∑x∈Hµ f)x( = s. Bằng cách biến đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý theo lô, bằng cách đưa vào số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý theo lô cho nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính đúng đắn của việc đánh giá nhiều đa thức đa biến để nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 khía cạnh sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U không được bằng 0 ở mọi điểm trên khối tứ diện, và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quy trình kiểm tra này bằng cách đặc hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không xử lý đầy đủ trường hợp chia cho không, dẫn đến việc không thể khẳng định vấn đề không bằng 0 của U trên siêu khối; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả khi mẫu số bằng 0, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này giúp Binius xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải thiện cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt là trong việc xử lý xác minh đa biến đa thức phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết những hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân trong tương lai.
![Bitlayer Research：Phân tích nguyên lý Binius STARKs và những suy nghĩ tối ưu hóa])https://img-cdn.gateio.im/webp-social/moments-1fb9ecbf9b3b2beaec758f3ab686a012.webp(
) 2.3 PIOP: lập luận dịch chuyển đa tuyến mới ------ áp dụng cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những công nghệ then chốt, có khả năng tạo ra và thao tác hiệu quả các đa thức được phát sinh từ tay cầm đầu vào hoặc từ các đa thức ảo khác.